平方根と小数の関係と解の公式

問題６（１）
$\sqrt{10}+1$の小数部分を$a$とするとき、$a²+3a$の値を求めなさい。
（２）
$2$次方程式$x²-7x+11=0$の$2$つの解を$a､b(a>b)$とするとき、$a²-b²-a+b$の値を求めよ。

（１）
$3$<$\sqrt{10}$<$4$
$3+1$<$\sqrt{10}+1$<$4+1$
$4$<$\sqrt{10}+1$<$5$
よって小数部分は
$a=\sqrt{10}+1-4$
$a=\sqrt{10}-3$

これを$a²+3a$に代入して
$(\sqrt{10}-3)²+3(\sqrt{10}-3)$
$=10-6\sqrt{10}+9+3\sqrt{10}-9$
$=10-3\sqrt{10}$

（２）
解の公式より
$x=\displaystyle \frac{7±\sqrt{49-44}}{2}$
$x=\displaystyle \frac{7±\sqrt{5}}{2}$
$a=\displaystyle \frac{7+\sqrt{5}}{2},b=\displaystyle \frac{7-\sqrt{5}}{2}(a>b)$
$a+b=7,a-b=\sqrt{5}$

$a²-b²-a+b$
$=(a+b)(a-b)-(a-b)$
$=(a-b)(a+b-1)$
$=\sqrt{5}(7-1)$
$=6\sqrt{5}$