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平行と三角形の合同

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2018年3月19日図形の性質と証明中学2年生

対頂角

図のように2直線が交わっていて、4つの角度ができあがる。
∠a=∠b、∠c=∠dのように向かい合っている角を対頂角という。
図形と証明135

では問題です。図の$x$の角度を求めましょう。
図形と証明136

同位角と錯角

図のような2直線の平行線$m,n$があり、直線$ℓ$が交わっています。このとき、
∠$a$と∠$b$の関係を同位角といい、∠$a=$∠$b$
∠$c$と∠$d$の関係を錯角といい、∠$c=$∠$d$
図形と証明137
図形の性質と証明7

平行線と同位角・錯角の関係

2つの直線に1つの直線が交わっているとき、同位角or錯角が等しければ、2つの直線は平行
※図の場合は同位角が等しい。
図形と証明138
2つの平行な直線に1つの直線が交わっているとき、同位角は等しく錯角も等しい
図形と証明137
図形の性質と証明8

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
図の∠a,bの値を求めなさい。
図形と証明140

更にもう一問解いてみましょう。
図で、∠$a+$∠$b$=$180°$ならば、$m$//$n$を示しましょう。
図形の性質と証明12
図形と証明141

外角と内角の関係

△$ABC$の辺$BC$を延長した直線上に点$D$とする。
このとき、∠$ACD$を外角といい、∠$ABC$、∠$ACB$、∠$CAB$を内角という。
図形と証明142
三角形の場合内角の和は$180°$、外角は∠$ACD=$∠$ABC+$∠$CAB$

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
図の∠$x,y$の値を求めなさい。
図形と証明143

角度の名前

$0°$より大きく$90°$より小さい角を鋭角、$90°$より大きく$180°$より小さい角を鈍角といいます。
➀3つの角がすべて鋭角の三角形を鋭角三角形といいます。
➁1つの角が直角の三角形を直角三角形といいます。
➂1つの角が鈍角の三角形を鈍角三角形といいます。
図形と証明144

多角形の内角の和と外角の和

$n$角形の内角の和は$180°×(n-2)$($n=3,4,5・・・$)
$n$角形の外角の和は$360°$(三角形でも四角形でも同じ$360°$)
簡単に説明すると、
三角形の内角の和は$180°$
四角形の内角の和は$180×2=360°$
図形と証明145
なぜなら図のように三角形が$2$つで切るので内角の和は$180°×2$
五角形の内角の和は$180×3=540°$
・・・
$n$角形の内角の和は$180(n-2)$
図形の性質と証明9

$n$角形の内角の和+$n$角形の外角の和=$180×n$
$180(n-2)$+$n$角形の外角の和=$180×n$
$n$角形の外角の和=$360°$

意味を理解したら問題を解いてみましょう。
図の表の値を求めなさい。
図形と証明146

合同な図形の性質

・合同な図形では、対応する線分の長さや角の大きさはそれぞれ等しい
「$≡$」は合同を表す記号である。
この記号を使うときは、対応する頂点の順に並べる。
例:△$ABC≡$△$DEF$
図形と証明148
三角形の場合だけ△で表す。
図形の性質と証明10

では問題を解いてみましょう。
図は合同な図形である。
(1)合同であることを記号$≡$を使って表しましょう。
(2)∠$A$に対応する角はどれですか。
(3)辺$AB$は何$cm$ですか。
図形と証明149

三角形の合同の条件

$1$.$3$組の辺がそれぞれ等しい。
$2$.$2$組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
$3$.$1$組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
図形と証明150
図形と証明151
図形と証明152
図形の性質と証明11

では問題を解いてみましょう。
図で、同じ印の線分の長さや角は同じ大きさである。このとき、合同な三角形を記号を使って表し、その時に使った三角形の合同条件も書きなさい。
図形と証明153

図形の性質と証明2
不明点があればコメントよりどうぞ。

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