図形と相似の練習問題１
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2018年3月21日図形と相似中学３年生
問１
図でＡＢ、ＣＤ、ＥＦは平行です。ＡＢ＝１２、ＣＤ＝８のときＥＦの長さを求めなさい。
△ＡＢＥ∽△ＤＣＥなので（対頂角と錯角が等しい）
ＡＢ：ＤＣ＝ＢＥ：ＣＥ
１２：８＝ＢＥ：ＣＥ
３：２＝ＢＥ：ＣＥ
また、△ＢＥＦ∽△ＢＣＤなので（同位角が等しく、∠Ｂは共通）
ＢＥ：ＢＣ＝ＥＦ：ＣＤ
３：５＝ＥＦ：８
ＥＦ＝４.８
問２
△ＡＢＣの∠Ａの外角∠ＣＡＤの二等分線とＢＣの延長との交点をＥとする。ＡＢ：ＡＣ＝３：２のとき、ＢＣ：ＣＥを求めなさい。
Ｃから線分ＡＥに平行な線を引き、辺ＡＢとの交点をＦとする。
すると、錯角より∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ、同位角より∠ＥＡＤ＝∠ＡＦＣ
これより△ＡＦＣは二等辺三角形となり、ＡＣ＝ＡＦ。
よってＢＦ：ＢＡ＝１：３
また△ＢＦＣ∽△ＢＡＥなので（∠Ｂ共通、同位角が等しい）
ＢＦ：ＢＡ＝ＢＣ：ＢＥ
１：３＝ＢＣ：ＢＥ
これより
ＢＣ：ＣＥ＝１：２
問３
図のように直角三角形ＡＢＣの頂点Ａを通る直線に、頂点Ｂ，Ｃから垂線をひき、その交点をそれぞれＤ，Ｅとする。△ＡＤＢ∽△ＣＥＡを証明しなさい。
図のように、∠ＥＣＡ＝ａとすると、∠ＣＡＥ＝１８０－(ａ＋９０)＝９０－ａ、
∠ＤＡＢ＝１８０－(∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＥ)＝(９０＋９０－ａ)＝ａ
となるので、あとはこれを文章にしてまとめる。
△ＡＤＢと△ＣＥＡについて
∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＡ＝９０°・・・①
また
∠ＤＡＢ
＝１８０－(∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＥ)
＝１８０－(９０＋∠ＣＡＥ)
＝９０－∠ＣＡＥ
＝９０－(１８０－(∠ＡＥＣ＋∠ＥＣＡ)
＝９０－(１８０－(９０＋∠ＥＣＡ)
＝９０－(９０－∠ＥＣＡ)
＝∠ＥＣＡ
ゆえに
∠ＤＡＢ＝∠ＥＣＡ・・・➁
➀、➁より２角がそれぞれ等しいので△ＡＤＢ∽△ＣＥＡ
問４
図で、△ＡＢＣの面積が８４ｃｍ²のとき、次の三角形の面積を求めなさい。（１）△ＡＣＤの面積（２）△ＢＣＰの面積
（１）
△ＡＣＤの面積は△ＡＢＣと高さを共通に持つので、
底辺の比が面積比となるので、
１４：６＝８４：△ＡＣＤ
△ＡＣＤ＝３６ｃｍ²
（２）
△ＢＣＰの面積は△ＡＢＣと高さを共通に持つので、
底辺の比が面積比となるので、
５：１５＝△ＢＣＰ：８４
△ＢＣＰ＝２８ｃｍ²
不明点があればコメントよりどうぞ。