図形と相似の練習問題1
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2018年3月21日図形と相似中学3年生
問1
図でAB、CD、EFは平行です。AB=12、CD=8のときEFの長さを求めなさい。

△ABE∽△DCEなので(対頂角と錯角が等しい)
AB:DC=BE:CE
12:8=BE:CE
3:2=BE:CE

また、△BEF∽△BCDなので(同位角が等しく、∠Bは共通)
BE:BC=EF:CD
3:5=EF:8
EF=4.8
問2
△ABCの∠Aの外角∠CADの二等分線とBCの延長との交点をEとする。AB:AC=3:2のとき、BC:CEを求めなさい。
Cから線分AEに平行な線を引き、辺ABとの交点をFとする。

すると、錯角より∠EAC=∠ACF、同位角より∠EAD=∠AFC
これより△AFCは二等辺三角形となり、AC=AF。
よってBF:BA=1:3
また△BFC∽△BAEなので(∠B共通、同位角が等しい)
BF:BA=BC:BE
1:3=BC:BE
これより
BC:CE=1:2
問3
図のように直角三角形ABCの頂点Aを通る直線に、頂点B,Cから垂線をひき、その交点をそれぞれD,Eとする。△ADB∽△CEAを証明しなさい。

図のように、∠ECA=aとすると、∠CAE=180-(a+90)=90-a、
∠DAB=180-(∠BAC+∠CAE)=(90+90-a)=a
となるので、あとはこれを文章にしてまとめる。
△ADBと△CEAについて
∠ADB=∠CEA=90°・・・①
また
∠DAB
=180-(∠BAC+∠CAE)
=180-(90+∠CAE)
=90-∠CAE
=90-(180-(∠AEC+∠ECA)
=90-(180-(90+∠ECA)
=90-(90-∠ECA)
=∠ECA
ゆえに
∠DAB=∠ECA・・・➁
➀、➁より2角がそれぞれ等しいので△ADB∽△CEA
問4
図で、△ABCの面積が84cm²のとき、次の三角形の面積を求めなさい。(1)△ACDの面積(2)△BCPの面積
(1)
△ACDの面積は△ABCと高さを共通に持つので、
底辺の比が面積比となるので、
14:6=84:△ACD
△ACD=36cm²
(2)
△BCPの面積は△ABCと高さを共通に持つので、
底辺の比が面積比となるので、
5:15=△BCP:84
△BCP=28cm²

不明点があればコメントよりどうぞ。
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