平方根の練習問題１
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2019年3月16日平方根中学３年生
問１
次の数を根号を使わないで表しましょう。
（１）$\sqrt{225}$
（２）$\sqrt{324}$
（３）$\sqrt{529}$
ポイントは「素因数分解」して考える。
（１）
$=\sqrt{5×5×3×3}$
$=15$
（２）
$=\sqrt{2×2×3×3×3×3}$
$=18$
（３）
$=\sqrt{23×23}$
$=23$
問２
$a$を自然数とする。次のような$a$をすべて求めましょう。
$\sqrt{15-a}$
ポイントは
「文字で置く」
$\sqrt{15-a}=n$とおくと
$15-a=n²$（両辺２乗して）
$a=15-n²$
これをみたす$n$は$0,1,2,3$
そのときの$a$は
$15,14,11,6$
問３
$x=\sqrt{5}-\sqrt{3}$,$y=\sqrt{5}+\sqrt{3}$のとき、$x²+y²$の値を求めましょう。
この方法でやるように心がけてください。
$(x+y)²=x²+2xy+y²$なので
$x²+y²=(x+y)²-2xy$
$x+y$
$=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}$
$=2\sqrt{5}$
$xy$
$=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$
$=5-3$
$=2$
これより
$x²+y²$
$=(x+y)²-2xy$
$=(2\sqrt{5})²-2×2$
$=16$
問４
$\sqrt{72a}$が整数となるような$a$のうちもっとも小さいものを求めましょう。
$\sqrt{72a}$
$=\sqrt{2×2×2×3×3×a}$
$=2×3\sqrt{2×a}$
$=6\sqrt{2×a}$
これが整数になればよいので、$a=2$
問５
$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき以下の問いに答えましょう。
（１）$\sqrt{5}$の小数部分を表しましょう。
（２）$a²+4a+4$の値を求めましょう。
（１）
$\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$
$2<\sqrt{5}<3$
これより$\sqrt{5}=2.・・・$と表せる。
よって$\sqrt{5}$の小数部分の$a=\sqrt{5}-2$
（２）
$a²+4a+4$
$=(a+2)²$
$=(\sqrt{5}-2+2)²$
$=5$
不明点があればコメントよりどうぞ。