平方根の練習問題２
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2019年3月16日平方根中学３年生
問１
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}+1}$を有理化しましょう。
ポイントは
「分母に$\sqrt{}$が残らないように」して考える。
この場合は分母・分子に$\sqrt{3}-1$をかける。
$=\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$
$=\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}$
$=2\sqrt{3}-2$
問２
正の数$x$について、$x$の整数部分を$[x]$、小数部分を<$x$>で表すことにする。
このとき、$[\sqrt{21}]-<3\sqrt{11}>$の値を求めましょう。
ポイントは「個別に計算」する。
$\sqrt{16}<\sqrt{21}<\sqrt{25}$なので、
$4<\sqrt{21}<5$
これより$[\sqrt{21}]=4$
$3\sqrt{11}$
$=\sqrt{99}$
$\sqrt{81}<\sqrt{99}<\sqrt{100}$
$9<\sqrt{99}<10$
これより$<3\sqrt{11}>=3\sqrt{11}-9$
$[\sqrt{21}]-<3\sqrt{11}>$
$=4-3\sqrt{11}+9$
$=13-3\sqrt{11}$
問３
$x=4-\sqrt{7}$のとき、$\sqrt{x²-8(x-a)+13}$が自然数になるような自然数$a$のうち最も小さいものを求めましょう。
ポイントは「$x=4-\sqrt{7}$」の扱い方。
$x=4-\sqrt{7}$を変形すると、
$-x+4=\sqrt{7}$
$(-x+4)²=7$
$x²-8x+16-7=0$
$x²-8x=-9$
これを代入すると。
$\sqrt{-9+8a+13}$
$\sqrt{8a+4}$
$2\sqrt{2a+1}$
これが自然数になる最小の自然数$a$を考える。
$a=4$のとき（$9$となる）である。
不明点があればコメントよりどうぞ。