平方根の練習問題２

▼答えはこちらをクリック

ポイントは「分母に$\sqrt{}$が残らないように」して考える。
この場合は分母・分子に$\sqrt{3}-1$をかける。
$=\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$
$=\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}$
$=2\sqrt{3}-2$

▼答えはこちらをクリック

ポイントは「個別に計算」する。
$\sqrt{16}<\sqrt{21}<\sqrt{25}$なので、 $4<\sqrt{21}<5$ これより$[\sqrt{21}]=4$
$3\sqrt{11}$
$=\sqrt{99}$
$\sqrt{81}<\sqrt{99}<\sqrt{100}$ $9<\sqrt{99}<10$ これより$<3\sqrt{11}>=3\sqrt{11}-9$

$[\sqrt{21}]-<3\sqrt{11}>$
$=4-3\sqrt{11}+9$
$=13-3\sqrt{11}$

▼答えはこちらをクリック

ポイントは「$x=4-\sqrt{7}$」の扱い方。
$x=4-\sqrt{7}$を変形すると、
$-x+4=\sqrt{7}$
$(-x+4)²=7$
$x²-8x+16-7=0$
$x²-8x=-9$

これを代入すると。
$\sqrt{-9+8a+13}$
$\sqrt{8a+4}$
$2\sqrt{2a+1}$

これが自然数になる最小の自然数$a$を考える。
$a=4$のとき（$9$となる）である。